生产函数最优推导？

一、生产函数最优推导？

已知长期生产函数为Q=1.2A(0.5次方)B(0.5次方)，A、B为投入的生产要素，价格分别为1美元、9美元，试推导长期总成本函数

均衡的时候，我多花一块钱，去买a或b要素，产出的增加量应该相等（否则就可以选择更划算的要素，直至一样）。a和b要素的边际产出分别为0.6(b/a)^0.5和0.6(a/b)^0.5，而多花1块钱，可以买1单位a或1/9单位b，因而有：

1*0.6(b/a)^0.5=1/9*0.6(a/b)^0.5

整理得到：a=9b

即长期均衡时a要素的数量应是b的9倍

我们假设长期常量为q，则q=1.2(ab)^0.5=3.6b（将a=9b代入）

解得b=q/3.6

最后算成本，为两种要素价格与数量乘积的和：

c=1*a+9*b=18b=5q（将b=去/3.6代入）

c=5q就是长期成本函数，为线性函数，即增加一单位产量，成本增加5美元。

二、凸函数有最优解吗？

凸函数，是数学函数的一类特征。凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数。设f(x)在[a,b]上连续，若对[a,b]中任意两点x1，x2，恒有 f[(x1+x2)/2]>=[f(x1)+f(x2)]/2则称 f(x) 在[a,b] 上是向上凸的，简称上凸.f(x)是[a,b]上的凸函数。

很显然，凸函数有最优解。

三、最优控制优缺点？

使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和综合方法。可概括为：对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标值为最优。这类问题广泛存在于技术领域或社会问题中。例如，确定一个最优控制方式使空间飞行器由一个轨道转换到另一轨道过程中燃料消耗最少。最优控制理论是50年代中期在空间技术的推动下开始形成和发展起来的 。苏联学者L.S.庞特里亚金1958年提出的极大值原理和美国学者R.贝尔曼1956年提出的动态规划，对最优控制理论的形成和发展起了重要的作用。线性系统在二次型性能指标下的最优控制问题则是R.E.卡尔曼在60年代初提出和解决的。

从数学上看，确定最优控制问题可以表述为：在运动方程和允许控制范围的约束下，对以控制函数和运动状态为变量的性能指标函数（ 称为泛函 ） 求取极值（ 极大值或极小值）。解决最优控制问题的主要方法有古典变分法（对泛函求极值的一种数学方法）、极大值原理和动态规划。最优控制已被应用于综合和设计最速控制系统、最省燃料控制系统、最小能耗控制系统、线性调节器等。

四、lqr最优控制原理？

LQR（线性二次型调节器）是一种最优控制原理，用于设计线性系统的最优控制器。它通过最小化系统状态和控制输入的二次型性能指标，实现系统的最优控制。

LQR方法结合了状态反馈和最优控制理论，通过求解Riccati方程来确定最优控制器的增益矩阵。LQR具有简单、有效的特点，适用于线性系统的稳定性和性能优化问题。它在自动控制、机器人、航空航天等领域得到广泛应用。

五、多智能体系统协同控制、最优控制、预测控制前景如何？

在读博士生一枚，应博导要求调研矿区场景下的多车编队控制技术研究现状，遂展开文献调研。本博客为提供给博导的调研报告，从多智能体编队控制技术展开介绍，随后收缩到车辆领域，阐述了矿区场景的相关研究现状。本文档会概述该领域下的几个重要研究点的进展与趋势，对于想要入坑的同僚可以提供确定具体课题的依据。

调研方式为：首先在web of science上进行关键词检索，然后在connected papers以及google scholar上搜索与该文献相关的研究，最后结合搜索出的文献中的introduction再进行文献调研。最终收入zotero的期刊、会议与学位论文数量为113篇，但限于篇幅，下文不进行具体引用。本博客不会详述现有文献的研究进展，重在从初学者视觉出发，讨论与思考各方向的特点，帮助大家结合各自长处选择合适的课题。

编队控制技术起源于多智能体领域，在无人机（Unmanned aerial vehicle, UAV）、无人船（Unmanned surface vehicle, USV）和无人小车（Unmanned ground vehicle, UGV）上应用最为广泛。Darpa自动驾驶挑战赛结束后，2010年左右，多车方面开始成规模的开展编队控制相关研究。本博客首先概述编队控制方法的主要内容，随后讲述该技术在多车方面的研究现状。

方法概述

编队控制指通过控制多个智能体，使得各个智能体保持某一预先设定的形状，如菱形与线形等。编队控制技术主要包括领航-跟随法、虚拟结构法、基于行为法、基于图论法与人工势场法。

（1）领航-跟随法

领航-跟随法指设定一个领导者，其余智能体跟随该领导者行动。根据控制变量，该方法可分为separation-bearing与separation-separation，如图 1.1所示。

separation-bearing指控制跟随者与领导者之间的相对距离与夹角，separation-separation指控制某智能体与相邻两智能体之间的距离。针对上述两种类型，常见的控制方式为将被控变量作为状态量，基于现代控制理论设计控制策略。常见的理论依据包括：模型预测控制、滑模控制与控制。

（2）虚拟结构法

虚拟结构法指预先设定某一队形，将所有智能体视为一个刚体，随后令所有智能体按照既定轨迹运动，如下图所示。

虚拟结构法实施简单，但是难以用于编队形状需要频繁变换的场景。并且由于需要集中式架构，计算节点的通信负荷较大，容易出现单点硬件问题。

（3）基于行为法

基于行为法指针对特定行为设计特定的控制函数，而最终施加在智能体上的结果通过多种函数输出结果的加权求和等方式获得，如下图所示。

与虚拟结构法相比，基于行为法采用分布式架构，因此对通信要求较低。但由于难以进行稳定性与鲁棒性分析，如何保证编队形状收敛仍有待研究。

（4）基于图论法

基于图论法指将多智能体以及其通信关系抽象为有向或无向图，随后利用图论分析各节点的运动方式，进而进行控制，如下图所示。

相较于其他方法，图论法对于通信拓扑动态变化的场景较为适用，但是该方法下智能体只能与附近的智能体通信。

（5）人工势场法

人工势场法指针对场景中的不同对象，如其他智能体、车道边线等构建不同的引力或斥力函数，根据引力与斥力的和来判断智能体的运动倾向，如下图所示。

势场法易于处理避障问题，并且实时性高，因此易于实时应用。但是，合适的势场函数设计困难，并且势场法给出的结果常为局部最优。

不同方法的关键性能对比如下表所示。

多车编队控制

矿区场景下的研究

未找到矿区场景下做多车控制方面的研究，仅发现少数做单车路径规划或运动控制的简单研究。经调研后我认为该领域研究匮乏的主要原因是缺乏基础工具，主要为仿真软件、数据集与模型：

1.在仿真软件方面，暂时没有专门针对矿区的仿真软件，现有研究主要基于Prescan或Ros等城市交通软件，通过导入矿区地图来进行简单的场景模拟。然而，该方式很难模拟三维场景，并且生成的场景粗糙且还原度低；

2.在数据集方面，2022年在CVPR上有一篇论文首次给出了矿区场景的数据。然而，该数据面向定位研究且数据量很小。我与其作者沟通后得知，他们那边经过几届研究生的努力，自己开发了一个简易的矿区仿真软件，但是不会开源；

3.在模型方面，目前算法层面能利用到的最复杂模型为平面四轮模型，对于三维重载多轮车辆模型仍有缺失。

根据现状可知，开展矿区场景的研究需要大量前期工作。当前L5级自动驾驶无法实现，各大厂商开始降级自动驾驶技术，重点落地L2级别的技术，更加关注矿区、学校等封闭场景。因此，矿区相关的自动驾驶研究重要性有所上升。在迁移其他场景的技术至矿区前，上述三个内容有必要率先解决。

非矿区场景下的研究

与UAV、UGV、USV不同，多车领域的编队控制很少研究多种队形，大部分论文针对线性队形。在线性队形的基础上，主流的编队控制方法为领航-跟随法。在过去十年间的研究主要针对纵向队列控制，在队列异质性、通信、稳定性、节能与安全方面有深入探讨。下文将阐述各子领域的主要研究内容与方法。

（1）异质性

异质性分为弱异质与强异质，弱异质指系统结构相同但参数不同。在设计控制方法时表现为系统状态方程阶数与结构相同，但某个参数不同。强异质指系统结构不同，即每辆车的状态方程阶数与结构不同。针对异质问题，常见的方法包含两种：1. 将参数不同带来的影响转化为系统不确定性问题，即异质系统控制问题转化为同质系统包含不确定性部分的控制问题，进而可以基于鲁棒控制理论设计控制方法；2. 为异质模型设计同质参考模型，并且令异质模型跟踪同质模型，在此基础上继续套用同质模型的控制方法；3. 以分布式架构进行队列控制，在设计局部控制器时考虑相邻车辆的异质性。

（2）通信问题

队列通信的基础是确定通信拓扑，主流方法基于图论对拓扑进行建模。该模型的关键属性为拉普拉斯矩阵，大部分研究通过分析该矩阵的特征值设计满足稳定性等性质要求的控制方法。进一步，部分学者针对拓扑变化展开研究，拓扑变化类型包括两种：1. 非自由变化，即在满足某种条件后（例如时间）进行队列变换；2. 自由变化。两种类型下的研究重点均为稳定性，许多研究基于李雅普诺夫理论分析稳定性条件，然后设计应对控制方法。除了队列拓扑问题，通信方面的另一大重点为通信延迟与丢包问题。在通信延迟方面，常见的方法为Razumikhin-based method和Krasovskii-based method。前者基于李雅普诺夫理论且常用于离散系统，后者针对泛函分析理论且常用于连续系统。两种方法的核心均为推导系统稳定性条件，随后基于该条件设计控制方法。在通信丢包方面，许多研究通过变化拓扑，利用预测信息补偿来解决感知信息缺失的问题。

（3）稳定性

多车编队控制领域的稳定性主要指内部稳定性与弦稳定性。内部稳定性定义为：控制系统闭环稳定，即被控系统（某辆车）接收控制量后输出的结果收敛。弦稳定性具有多种定义，适用于不同特征的问题，其原始定义为：队列前部的车辆遇到扰动时，该扰动不会向队列后部逐渐扩大。在多车控制领域，队列稳定性更加重要与困难，因此大部分论文聚焦于队列稳定性。弦稳定性分析需要以特定通信拓扑为基础，大量文章探讨车辆间距设置与弦稳定性的关系。该领域目前比较公认的结论为：固定相对距离策略下，前车跟随拓扑无法满足弦稳定性要求。引入领导者的信息与采用固定时距策略可以有效提升弦稳定性。

（4）节能与安全

多车编队控制领域兴起时公认的研究意义为：通过将多辆车组队降低总风阻，进而降低油耗。理论上相对车距越小风阻越低，但车距越小弦稳定性也越差，即二者冲突。部分研究聚焦于控制合适的相对车距来降低风阻，进而实现节能。除此之外，部分研究基于V2I技术与交通信号灯，研究交通流层面的队列速度规划问题，通过避免频繁变速来节能。在车辆控制方面，许多研究选择构建能耗函数，并将该函数作为惩罚函数构建优化模型，进而实现节能控制。然而在实际做法上，上述研究同质性较强，基本都是拟合一个能耗函数然后放进惩罚函数，主要区别在于能耗函数本身，以及由能耗函数不同导致的车辆模型不同。在安全方面，编队控制领域大部分文献只考虑队列内部的车辆避障问题，即避免前后车碰撞。常见方式为引入相对车距约束并构建最优控制模型，进而获得防止碰撞的控制量。对于如何防止外部障碍物的研究较为匮乏。

总结与思考

在上节综述中，异质性、通信与稳定性属于编队控制关注的基本性质，也是该领域研究最广的三点内容，节能与安全次之。相关研究具有如下特点：

1. 在基本性质的研究上，研究方法大多属于现代控制理论，MPC、滑模控制与控制比较常见。绝大部分研究（不论是异质、通信或稳定）将所研究的问题转换为稳定性条件分析，随后基于李雅普诺夫理论进行分析或推导；
2. 大部分研究只讨论纵向控制，通用的模型比较简单（适用于理论推导）。少部分考虑横向控制的研究，其方式主要为将纵向与横向分开控制；
3. 实现节能的方式同质性强，个人认为不同论文在节能上的创新性缺乏说服力；
4. 考虑安全的论文局限性强，缺乏对考虑外部车辆的讨论。
5. 几乎没有实验研究

以上为文献调研的总结，下面我将针对每一条特点阐述我的思考（包括产生原因或进入该领域会面临的难处）：

1. 在基本性质研究上，李雅普诺夫理论应用十分广泛。但是基于李雅普诺夫的研究重点在于寻找合适的李雅普诺夫函数，此处很吃经验。并且，为了满足理论应用要求，控制系统很可能会进行大量简化，进而失去落地价值。如果向复杂系统卷，那很难拼得过正儿八经搞控制的人；
2. 目前缺少适用于编队控制的纵横向集成的车辆模型，单车领域的此类模型比较复杂，很难进行理论推导。除此之外，现有关于基本性质的研究聚焦线性队列，如果队形不是线性了，可能会有一堆性质无法继续用；
3. 我认为车辆节能的根本在于车辆底层的控制方式。但若想从规划层实现节能，就不能仅针对某路口、路段，而是应该站在足够高的层次，例如在交通网络层面实施路径或速度规划；
4. 当前用于编队的车辆模型在状态变量上很难考虑外部车辆。要想实现躲避外部障碍物，要么引入新的模型、要么在现有模型上讨论状态量变化方法、要么设计新的控制架构（即通过编队控制模型以外的模型实现避障）；
5. 现阶段可行的实验为利用无人小车，比如UGV。但是为了研究UGV的编队控制，在硬件设备与维护成本上的人力物力投入不亚于学术研究。

发展趋势

在编队控制方面，论文中出现较多的发展趋势有以下方面：

1. 引入学习类算法，组合多种算法以平衡优缺点。（以往没有协同车辆数据，所以没见到基于深度学习的研究，但是2023/5出来了首个真实场景下采集的时许车路协同数据集，虽然该数据面向感知与预测，但是在控制方面存在利用价值）
2. 结合预测、事件触发等方式，弥补通信质量对控制的影响
3. 考虑复杂城市交通的动态场景，因此车队需考虑外部障碍物，并且能够进行纵横向控制
4. 开展实验验证
5. 研究强异质性与混合交通下的编队控制

六、怎么计算目标函数的全局最优解？

首先将目标函数如z=2x+y,，化成y=-2x+z，然后将尺子当做斜率是-2的直线在可行域内平移 因为直线y=-2x+z的截距是z，那么就看什么时候截距最大或最小（截距是有符号的数值，其实就是看与一轴交点位置的最高最低） ------------------- 目标函数如z=2x-y,，化成y=2x-z，然后将尺子当做斜率是2的直线在可行域内平移 因为直线y=2x-z的截距是-z，那么就看什么时候截距最大或最小，对应就是目标函数的最小或最大值（这时正好与前面那种情况是相反的） ---------------------------- 其实一般都是在交点处有最优解，所以我都会带交点坐标到目标函数里面去算一下，比较出最大或最小值就是正确答案了。

如果是整点问题，就在交点附近找几个点的坐标带进去算，比较出最优解的值

七、反比例函数是最优曲线吗？

反比例函数不是最优曲线。

反比例函数是指如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x(k为常数，k≠0，x≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数

八、最优化理论凸函数习题

最优化理论是数学中的一个重要分支，研究如何在给定约束条件下寻找一个函数的最大值或最小值。其中，凸函数是最优化理论中的关键概念之一。

凸函数的定义

凸函数是指定义在某个凸集上的实值函数，满足对于任意两个点在凸集内的点，函数值在这两个点之间的部分都位于这两个点对应的函数值之间。换句话说，凸函数的图像上的每一点都位于连接两个点的线段之上。

凸函数具有许多重要的性质和特点。首先，凸函数的导数是非递减函数，这意味着函数的斜率始终不小于零。其次，凸函数在每个局部极小点都是全局极小点，这意味着凸函数的极小值点就是函数的全局最小值点。

凸函数习题

下面是一些关于凸函数的习题，供大家练习和思考：

1. 证明函数 f(x) = x^2 是凸函数。
2. 给定函数 f(x) = e^x ，证明它是凸函数。
3. 对于函数 f(x) = log(x)，判断它在定义域上是否是凸函数。

这些习题可以帮助我们更好地理解和应用凸函数的概念和性质。

九、matlab怎样判断树的最优性函数？

在MATLAB中，判断树的最优性函数通常需要使用树优化算法。这些算法可以用于解决各种问题，例如最小生成树、最长路径、最大割等问题。对于最小生成树问题，MATLAB可以使用Prim算法或Kruskal算法进行求解。这些算法可以找到一棵包含所有节点的树，使得所有边的权值之和最小。对于最长路径问题，MATLAB可以使用Dijkstra算法或Bellman-Ford算法进行求解。这些算法可以找到一条从起点到终点的最长路径，其中路径上的所有边的权值之和最大。对于最大割问题，MATLAB可以使用Karger算法进行求解。该算法可以找到一个最大割，即将图分成两个部分，使得两个部分之间的边的权值之和最大。在判断树的最优性函数时，可以根据具体的问题选择合适的算法进行求解。对于每个算法，MATLAB都提供了相应的函数或工具箱，可以方便地实现相应的功能。

十、如何利用声音控制函数控制声音？

可以通过调节计算机或设备的音量大小来控制声音。但是，使用声音控制函数可以更加方便快捷地进行操作。1.首先要确保使用的设备系统支持声音控制函数。如果是在Windows系统中，可以使用Windows自带的语音识别功能进行设置。2.打开语音控制面板，根据提示进行语音训练，让电脑可以准确识别声音。同时，也可以在面板中自定义一些关键词和短语。3.当需要控制声音时，只需在麦克风中说出相应的命令或短语，如“调低音量”或“静音”，计算机会自动进行相应操作。值得注意的是，声音控制函数的使用需要一定的语音技巧和训练，才能达到更加准确和方便的效果。